京都大学 線形代数
線形代数学続論
注意
小テストの開始時刻に遅刻した者はその受験を認めない.
レポート問題
提出先はレポートボックス. 提出期間は授業翌日から次回授業開始時まで.
- レポート問題1 4月11日出題
- レポート問題2 4月25日出題
- レポート問題3 5月9日出題
- レポート問題4 5月23日出題
- レポート問題5 6月6日出題
- レポート問題6 6月20日出題
- レポート問題7 7月4日出題
教科書
金子晃著「線形代数講義」サイエンス社.
新しく誤植を発見した者には, 1つにつき1点を成績に加える. ただし1つの誤植につき先着1名のみとする.
正誤表
p.190 ↑9: \((A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{0},\boldsymbol{y})\) ⇒ \((A\boldsymbol{x},\boldsymbol{z})=(\boldsymbol{0},\boldsymbol{z})\)
質問解説
\(V=W^\perp\dotplus W=W^\perp\dotplus (W^\perp)^\perp\) ⇒ \(W=(W^\perp)^\perp\) の次元を使わない証明.
\(W\subset(W^\perp)^\perp\)は既知.
\((W^\perp)^\perp\ni \boldsymbol{v}\)をとる. \(\boldsymbol{v}\in W\) を示せば十分. 与式より.
\(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y},\quad \exists\boldsymbol{x}\in W^\perp,\: \exists\boldsymbol{y}\in W\).
ここで\(\boldsymbol{v}\in(W^\perp)^\perp\), \(\boldsymbol{y}\in W\subset(W^\perp)^\perp\)より, \(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{y}\in(W^\perp)^\perp\).
さらに\(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}\in W^\perp\)ゆえ, \(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}\).
\(\therefore \boldsymbol{v}=\boldsymbol{y}\in W\).